La symétrie centrale : définition et propriétés
La symétrie centrale est une symétrie par rapport à un point appelé centre de symétrie. Elle est une transformation géométrique qui permet de transformer une figure en une image symétrique par rapport à un point donné.
Définition de la symétrie centrale
La symétrie centrale est définie comme une transformation géométrique qui consiste à appliquer tout point d'une figure sur son symétrique par rapport à un point appelé centre de symétrie. La figure et son image symétrique ont la même taille, la même forme et sont disposées de manière opposée par rapport au centre de symétrie.
Selon le site Mathsbook, pour construire le symétrique A' d'un point A par rapport à un point O, appelé centre de symétrie, il suffit de tracer la droite qui relie A à O puis de prolonger cette droite de la même distance de l'autre côté du point O pour atteindre le point A'.
Propriétés de la symétrie centrale
La symétrie centrale possède plusieurs propriétés intéressantes qui permettent de résoudre des problèmes géométriques.
Symétrie des figures
Deux figures sont dites symétriques par rapport à un point si elles se superposent par demi-tour autour de ce point. Selon Pass Education, deux figures symétriques par rapport à un point O ont les propriétés suivantes :
- Elles ont la même forme
- Les segments qui relient les points homologues passent par le centre de symétrie O
- Les angles entre les segments homologues sont égaux
- Les distances entre les points homologues sont égales
Symétrie des droites
Une propriété intéressante de la symétrie centrale est que si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles. Cette propriété est utile pour résoudre des problèmes de géométrie impliquant des droites symétriques. Selon Clg-monet-argenteuil, cette propriété est démontrée en utilisant les propriétés de la symétrie des angles et de la symétrie des distances.
Invariance des périmètres et des aires
Une propriété importante de la symétrie centrale est que deux figures symétriques par rapport à un point ont le même périmètre et la même aire. Cette propriété est utile pour calculer l'aire ou le périmètre d'une figure en utilisant ses propriétés de symétrie. Selon Cours-10, cette propriété est démontrée en utilisant les propriétés de la symétrie des distances et la conservation des angles.
Exemple d'utilisation de la symétrie centrale
La symétrie centrale est souvent utilisée dans les problèmes de géométrie pour résoudre des équations et des relations entre les figures. Voici un exemple d'utilisation de la symétrie centrale :
Soit ABCD un carré de côté 6 cm et O le centre du carré. Soit M un point du segment [AB]. Déterminer la distance MO.
Pour résoudre ce problème, on utilise la propriété de symétrie des droites et on trace la droite (d) passant par le point M et le centre de symétrie O. La droite (d) est symétrique de la droite (AB) par rapport au point O. On trace ensuite la droite (d') symétrique de (d) par rapport à O. La droite (d') passe par le point N, symétrique de M par rapport à O.
On a donc MO = MN car les points M et N sont symétriques par rapport à O. Or on sait que BN = BA/2 = 3 cm car N est le milieu de [AB]. On peut donc calculer MN en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle BMN :
MN² = BN² + BM² = 3² + 6² = 45
Donc MN = √45 = 3√5 cm et MO = MN/2 = (3√5)/2 cm.
Conclusion
La symétrie centrale est une transformation géométrique qui permet de transformer une figure en une image symétrique par rapport à un point donné. Elle possède des propriétés intéressantes telles que la symétrie des figures, des droites et l'invariance des périmètres et des aires. Cette transformation est souvent utilisée dans les problèmes de géométrie pour résoudre des équations et des relations entre les figures.
[PDF] CHAPITRE 4 - Symétrie centrale
jacques-prevert.etab.ac-cae...Symétrie centrale - Wikipédia
fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C...Symétrie centrale - Vikidia, l'encyclopédie des 8-13 ans
fr.vikidia.org/wiki/Sym%C3%...symétrie centrale - Lexique de mathématique - Netmath
lexique.netmath.ca/symetrie...Symétrie centrale : définition - Cours de maths - YouTube
www.youtube.com/watch?v=c27...La symétrie centrale est une forme d'asymétrie qui se produit lorsque l'image est divisée en deux parties symétriques ou presque symétriques. Elle est utilisée pour créer un effet esthétique ou pour produire des formes géométriques parfaites. Les lignes de symétrie centrale courent le long du milieu de l'image de façon à ce que chaque partie soit la réflexion de l'autre.
Dans l'art, la symétrie centrale est utilisée pour créer des compositions équilibrées qui peuvent être harmonieuses et qui facilitent la prise d'une image globale. La disposition des lignes et des couleurs peut fournir une sensation de stabilité à une pièce.
En architecture et en design de jardin, les symétries centrales sont également largement utilisées. Les balcons à l'architecture géométrique, les fontaines et les bassins sont souvent façonnés avec une symétrie centrale, ce qui donne une sensation de calme et de grâce à la création.
En termes de mathématiques, la symétrie centrale est liée à la notion des axes de symétrie ou à la division des figures en quatre parties égales. Grâce à cette forme d’asymétrie, il est possible de mieux comprendre les régularités et les propriétés des figures géométriques.
L'utilisation de la symétrie centrale a toujours été une ressource très répandue et appréciée au cours de l'histoire. On peut la retrouver dans de nombreuses peintures, sculptures et constructions architecturales qui existent depuis des siècles.
Personnellement, je trouve très intéressant à la fois d'utiliser et d'an ...